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3er paso: generalizar un algoritmo (parte V)

Lo que es la vida. Estamos viendo a un Pier que pasó de una cuasi crisis existencial a este nuevo presente: el de quien no sólo puede dibujar con soltura y precisión sino también participar "calculadora en mano" en la ejecución de nuestro algoritmo.
¿Estuviste "jugando" con el programa como te recomendé? Seguro habrás observado varias cosas, y espero que incluso se te hayan ocurrido posibles soluciones para lo que queda por hacer: nada menos que vincular la cantidad de pasos y las coordenadas iniciales de Pier con nuestra variable independiente n, de manera que podamos cumplir con las metas ya enunciadas.
Creo que vas a coincidir conmigo que lo más difícil de prever es la determinación de cual es la longitud "adecuada" para cada lado del polígono regular, considerando que de ninguna manera su dibujo debe salirse del área de trabajo (nuestra hoja de papel). Pasaremos a analizar este problema entonces…

Jugando en el sube y baja

Sube y baja, o subibaja, o balancín. Si, no estoy loco (por lo menos NO por enhebrar estar palabras)… me estoy refiriendo al viejo y querido entretenimiento infantil (…ahora hasta Pier me mira entrecerrando sus ojos).
Cuando de un lado se sube del otro se baja, y viceversa. Justo lo que necesitamos que pase entre los dos valores en cuestión, a saber, número de lados n y cantidad de pasos a mover: a medida que aumento la cantidad de lados de los polígonos a dibujar, será necesario achicar los tamaños de cada lado de manera que la figura no se "salga" del escenario —esta cuestión ya fue anticipada cuando vimos el algoritmo particular para dibujar un pentágono regular, podés verlo aquí—.
Con esto ya tenemos una punta para el análisis… pero primero debemos hacer una aclaración muy importante.

SOBRE NUESTRA META ESPACIAL

Si nuestra meta sobre el tamaño de los polígonos regulares hubiese sido que los mismos tengan un radio de determinada cantidad de pasos, o que su apotema fuese de tal  longitud, o que su Área ocupase determinado tamaño, estaríamos en presencia de tipos de metas matemáticamente estrictas —similares si querés a la del ángulo de giro… debe ser ese y no otro
Pero nuestra meta en este caso sólo pide que los polígonos no se salgan del marco del escenario, y es por tanto una meta laxa. Quiero decir: pueden ocurrírsenos varias maneras de alcanzarla, todas igualmente válidas.
De cualquier manera recordá lo siguiente: vamos a seguir necesitando encontrar alguna fórmula que vincule los dos valores que tenemos "en la mira" durante este tramo del Tutorial. Y al decir alguna ya te podés imaginar que continuaremos nuestro análisis siguiendo uno de los posibles caminos de solución —si vos encontraste otro y está bueno, compártelo y … ¡sorprendeme!—.

Me caigo y me levanto

¿A que te suena esto de "cuanto más tengo de este lado, menos tengo del otro, y viceversa"? —si sacás esta te ganás una semana completa en tu biblioteca preferida todo pago— ¡SI! , a nuestra bienamada regla de tres simple inversa (aplausos de compromiso).
La regla de tres simple inversa está asociada a un concepto matemático más amplio: el de la proporcionalidad inversa —habrás escuchado citar lo de "es inversamente proporcional a …"— Y en todo problema de regla de tres hay algo que permanece constante, pongamos por caso este típico ejemplo:
"Si conduzco mi automóvil a 100 km/h demoro 3 h en ir desde Rosario a Buenos Aires, ¿cuánto tardaré en llegar si viajo a 150 km/h?"
Estamos dando 3 valores y hay una incógnita —por algo es un problema de regla de 3 simple—.
¿Qué es lo que permanece constante en el problema? ¡La longitud del recorrido! La misma se calcula multiplicando los dos primeros valores del enunciado (nos dá 300 km) ¿Cuánto demoraré en recorrer 300 km a 150 km/h? (A DIVIDIR). RTA: 2 h
Donde exista proporcionalidad inversa se estará dando el caso de que el producto de dos valores dá siempre como resultado una constante: es por ello que cuando uno de los valores aumenta el otro inevitablemente debe disminuir. Y este "comportamiento" de la proporcionalidad inversa es la que nos dá un camino para proponer nuestra ansiada  fórmula.

Formulemos este problema: "Si en un polígono regular de cuatro lados cada lado mide 200 pasos, ¿cuanto deberán medir los lados de un polígono de n lados si queremos que su "tamaño" permanezca relativamente constante?"

[Perdón por la ambigüedad del "relativamente constante"]. Este enunciado al modo de un problema de regla de 3 simple inversa podría  ser adecuado para pensar la problemática que nos ocupa. Y en tal caso la constante de nuestro problema sería el resultado de calcular 4 x 200 pasos= 800 pasos… de aquí es que deducimos que para un polígono regular de n  lados la longitud de cada lado resultará igual a (800 / n) pasos. [Releer hasta entender]

Inversamente Proporcional

La expresión matemática para la proporcionalidad inversa tiene la forma y = K / x , siendo K una constante, x la variable independiente de entrada, y la variable dependiente de salida.
Ya tenemos una fórmula tentativa como para expresar matemáticamente el vínculo entre los valores… falta probar si funciona.
algoritmo genérico
Si no lo hiciste hasta ahora, es momento de abrir nuestro último proyecto, guardarlo con otro nombre, y reemplazar el valor fijo 200 por la operación (800) / n dentro del bloque de movimiento. Ya podemos empezar a probar como responde nuestro programa cuando asignamos distintos valores a n  (en la imagen se vé como n fue fijado a 7).

¡Albricias!… ¡nuestra propuesta para la resolución del problema fue un éxito!

Estoy seguro que al igual que yo habrás probado con una gran cantidad de valores para , y siempre habrás verificado que ningún polígono regular dibujado se sale del espacio de la hoja.
Algunas cosas a destacar:
  • Desde ya, debemos seguir trabajando en la meta del centrado, porque habrás comprobado que a medida que aumentamos n los polígonos se van "corriendo" hacia abajo y hacia la izquierda.
  • A medida que aumentamos n los polígonos regulares se parecen cada vez más a un círculo. Esto tiene que ver más con la geometría que con nuestro algoritmo, ya que un círculo podría ser considerado como un polígono regular de infinitos lados ( ¡guauuuu…! ).
  • Con valores grandes de n (20 o más) ya es evidente que se está recorriendo todo el espectro de colores al dibujar el polígono —¡y queda tan lindo!—.
  • Deberemos hacer algo con la instrucción de espera de 1 segundo, sino nos dormimos. Podríamos analizar el agregar una nueva meta que consista en que Pier dibuje todo polígono en, digamos, 5 segundos.
    ¿Será un problema de regla de 3, tal vez? (me quedó en versito). Andá pensando en como lo resolverías…
El objetivo que propusimos para esta página ya está cumplido, es buen momento para guardar nuestro último cambio.
El tema del centrado y la resolución de esta nueva meta de los 5 segundos será algo que veremos en la próxima página, la última de este 3er paso del Tutorial. Pero antes de cerrar el punto específico de la página presente, tengo algo más…

Aquí vá un post-análisis

Para serte absolutamente sincero, se me ocurrió este post-análisis a partir de la escritura de esta mismísima página. Concretamente, mientras barruntaba un intento de explicación de la regla de 3 simple inversa y de lo inversamente proporcional (¡cuánto se puede aprender cuando uno se propone enseñar!). ¿Qué destaqué allí? La importancia de ver que es lo que permanecía constante.
Cuando propuse analizar si nos serviría para cumplir la meta establecer un vínculo de proporcionalidad inversa entre la variable independiente n y la variable dependiente cantidad de pasos (o longitud de cada lado del polígono, para ser más precisos), lo hice pensando en la necesidad de tener lados cada vez más chicos a medida que el polígono a dibujar tuviese más lados. Y funcionó.
Pero al escribir esta página me apareció la pregunta ¿qué es eso que estoy proponiendo como constante?

RTA: es el producto de la longitud de cada lado por la cantidad de lados del polígono regular ¡Es su perímetro! Todo el tiempo frente a mis ojos y es recién ahora que puedo verlo…
de igual perímetro
Podrías considerar esto como el relato de una curiosidad, de hablar de algo poco más que anecdótico… pero me parece que conviene destacar algo más.
Quizás a vos se te podría haber ocurrido desde el principio lo que acabamos de post-analizar , esto es: partir de pensar que para que los polígonos tengan tamaño similar y no se "escapen" del escenario deberían tener alguna dimensión en común, por ejemplo perímetros iguales.  
!Y hubieses llegado al mismo algoritmo, caramba!

Destaco esto para volver a poner en foco una idea que nunca hay que olvidar: todos tenemos formas distintas de razonar y, siempre y cuando consigamos cumplir las metas, determinar cual es el mejor o peor camino es una discusión secundaria… lo importante es llegar.
Igualmente siempre es bueno analizar el planteo de los demás, no sólo porque es bueno respetar el punto de vista ajeno sino también porque se aprende y mucho.

Como curiosidad

Aprovechando que estamos en tema: también se te podría haber ocurrido plantear que la dimensión a mantener igualada para todos los polígonos regulares fuese el Área y no el perímetro.
Muy posiblemente te hubieses agarrado la cabeza, porque establecer el vínculo entre el número de lados y la longitud de los mismos (fijando como condicionante que las áreas de todos los polígonos regulares posibles resulten iguales entre sí), te hubiese llevado a un bloque de movimiento como el siguiente:
bloque alternativo
Desde ya que la construcción que deberíamos armar en este caso está lejos de responder a una simple relación de proporcionalidad inversa
bloque movimiento
Comparándola con nuestra "modesta" instrucción de movimiento… las diferencias son manifiestas.
Sin embargo dada la laxitud de nuestra meta —y aunque parezca increíble—… ¡ambas funcionan!
Ya como cierre de este post-análisis, y para beneplácito de los camaradas docentes, dejemos un enunciado correcto para nuestro problema de regla de tres (y vayan sacando una hoja…¡prueba sorpresa!)

"Si en un polígono regular de cuatro lados cada lado mide 200 pasos, ¿cuanto deberán medir los lados de un polígono de n lados si queremos que su perímetro permanezca constante?"

PARA VER

Podés visitar esta página dentro del sitio de Scratch para ver como queda el proyecto en caso de tomar como base polígonos de áreas iguales, e incluso descargarlo (si estás suscripto como usuario).
Ya mencionamos que nos queda resolver la cuestión del centrado de los polígonos, y la meta agregada para que Pier dibuje a cualquiera de ellos en 5 segundos.
Con la velocidad que adquirió en el uso de la calculadora, nuestro amigo está más que preparado para lograrlo, todo tranqui…
Última actualización: Febrero 24, 2014

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