Habíamos quedado en dejar de lado "el juego de las adivinanzas" para pasar a una resolución analítica del problema: es volver al papel y lápiz (justo a la usanza de Pier), para así sumergirnos en las bellas aguas de la geometría —lo tengo que vender a lo que dé lugar…—
Vamos a dejar cualquier cosa relacionada al "prueba y error" totalmente de lado. Será tomar "el toro por las astas" —algo con real sentido para nuestros hermanos ibéricos—, y esto implica llegar a clarificar y conceptualizar el problema de manera que sepamos hacia dónde vamos antes de meternos con el algoritmo.
Lápiz y papel
Lo primero en cuestiones de geometría es ponerse a dibujar y asignarle nombre a las cosas. Clasificarlas, encontrar magnitudes o propiedades en común, etc.… es algo que viene después. Tomemos entonces papel y lápiz para "clarificar" la cuestión.
Como nuestro problema está relacionado con un cálculo de ángulos, y estamos tratando con un triángulo equilátero (y acutángulo too), vamos a obviar el darle denominaciones (nombres, bah) a los lados, ya que no participarán de nuestro análisis.
Como ves en la figura los ángulos β1, β2 y β3 son los ángulos interiores del triángulo. Cada uno tiene su nombre porque son "cosas" distintas, más allá que —como ya sabemos— el que nuestro triángulo sea acutángulo nos está indicando que las magnitudes de estos ángulos son iguales (miden lo mismo).
A calcular β
Para conocer la magnitud de los tres ángulos mencionados (cuyo valor llamaremos β —beta—), nos basaremos en un conocido teorema demostrado por el griego Euclides hace unos 2300 años —mirá vos que modernos…—
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°, en geometría euclidiana.
La buena noticia es que la geometría euclidiana es la que estudiás/estudiaste en la escuela. La mala (y espero no arruinar tu día) es que existen otras geometrías dando vueltas por ahí, gracias a "cabezotas" como Gauss, Lobachevski, Bolyai, Riemann (siguen las firmas).
En esas geometrías el postulado anterior no será válido. Pero en la que usamos nosotros sí, y vamos a sacar provecho de esto.
Pensemos. Por un lado la suma de las magnitudes de los ángulos interiores de cualquier triángulo suma 180º. Por otro en los triángulos equiláteros tenemos 3 ángulos interiores de igual magnitud, por lo que su suma podrá pensarse mejor como un producto: 3 x β = 180º.
La conclusión de este análisis es más que evidente: la magnitud de cada ángulo interior de un triángulo equilátero es
β = 180º/3 = 60º.
¡Mirá vos!… con la ayuda del archiconocido teorema, más un poco de ingenio, no hubo que adivinar nada.
Pero ¡un momento!... ¿este es el "bendito" número que soluciona nuestro problema?
De regreso con Pier
Pier: el que se está durmiendo la "siesta interminable". Mientras camino de puntillas para no despertarlo, repaso las instrucciones que le habíamos dejado, y recuerdo la pregunta que nos trajo hasta aquí: ¿cuántos grados deberá girar?
También formulé en la página anterior 2 preguntas con fines presuntamente orientativos, y que tenían en el fondo otro fin solapado: el que pegaras un freno al impulso por la acción (entrar a probar números sin ton ni son) y te brindaras una pausa previa para pensar el problema (lamentablemente un intento del cual desconozco sus resultados).
Pero volvamos a revisar ahora las instrucciones para Pier : se debe mover 200 pasos en dirección 90º, y luego debe girar ¿qué ángulo? —todos a mirar la imagen de aquí arriba—. ¡Muy bien!, gira una cantidad igual a la magnitud de γ1 —gamma 1—.
Luego de un cambio de color y una espera, se debe mover otros 200 pasos en la nueva dirección [90º + γ1] y debe girar ¿qué ángulo? Respuesta: γ2 …creo que ya tenés la idea. La magnitud de los ángulos γ son nuestra incógnita clave.
Y regresando a una de nuestras preguntas pendientes (ya casi entiendo lo del "eterno retorno") :
Segunda pregunta (más difícil) : ¿a qué tipo de ángulos de los que vimos en la página anterior está asociada la acción de giro que necesitamos? ¿central, interior, exterior? NOTA: la página citada es ésta.
¿Qué tenés para contestar?. Tenés los apuntes a mano… un par de grafiquitos muy coquetos… nadie te apura con el tiempo…
Es momento de demostrar de que madera estás hecho/hecha, my friend… Date la oportunidad de pensar, y cuando tengas la respuesta seguimos.
¡Y el ganador es…!
Al mirar en nuestra gráfica del triángulo, notamos que nuestros ángulos γ están formados por un lado del triángulo, y por una de las prolongaciones de un lado adjacente (en nuestra secuencia de dibujo es la prolongación del lado previamente trazado, marcado con una flecha verde oscuro). Y son externos al triángulo… si leíste las definiciones no te pueden quedar dudas.
- Ángulo exterior
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Ángulo exterior: es el ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible conformar dos ángulos exteriores, que poseen la misma amplitud. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior que comparte el mismo vértice. Respecto del ángulo interior (β), la medida del ángulo exterior adyacente γ —gamma— será: γ = 180º – β
Está todo dicho: tenés la respuesta y además la data sobre la relación entre ángulos exteriores e interiores, entre los γ y los β (estoy tentado a escribir "entre los Montescos y los Capuletos", pero me voy a contener) : son suplementarios entre sí (aplausos).
La formulita a usar es γ = 180º – β. Y como β = 60º la respuesta a nuestros desvelos, ese número mágico es… 120º.
Luego de gastar litros de tinta (y horas de mi sueño… ¡como envidio a Pier!) concluímos:
El ángulo de giro que deberemos usar en nuestro algoritmo para el trazado de un triángulo equilátero es de 120º
Despertemos a Pier —que en este momento parece más bien estar en "animación suspendida", cual astronavegante futurista—. Ya tiene a su disposición las instrucciones correctas para desplazarse con soltura y decisión para dibujar un triángulo equilátero (las de aquí a la derecha, man).
Hacé los cambios necesarios (si es que te hacen falta) en tu proyecto y guardalo. Lo único que fue agregado respecto al programa de la página previa es el valor angular —que antes quedó indefinido—
Una vez guardado podés aprovechar a "jugar" con el programa, especialmente con los valores angulares, un entrenamiento que te va a ser útil para lo que sigue…
PARA VER
Podés visitar esta página dentro del sitio de Scratch para ver esta parte del proyecto en acción, e incluso descargarlo (si estás suscripto como usuario).
Ya te había advertido: en este 2do paso ibamos a ver mucho de geometría y poco de programación. Y a riesgo de ser tomado por pesado (me acordé medio tarde), cito en parte algo que no deberemos perder de vista:
"… si queremos construir un algoritmo genérico necesitaremos poder encontrar la relación entre el número de lados del polígono regular que querramos dibujar, y el ángulo de giro en particular…"
Posiblemente esto no tenga todavía mucho sentido para vos. Paciencia.
Hacer un estudio desde lo conceptual para un triángulo no fue —creo— tan difícil de entender (si de explicar). Asegurate de haber captado lo mejor posible lo expuesto en estas últimas páginas, especialmente la cuestión de los ángulos y su relación con nuestro problema del dibujo.
En lo que sigue nos vamos a embarcar en un proyecto bastante más ambicioso: ver cómo hacer para que Pier dibuje un pentágono regular (murmullos de asombro, fade out…).
Última actualización: Febrero 24, 2014
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