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2do paso: dibujar un polígono (parte IV)

En nuestras 2 últimas páginas hablamos sobre cómo generar un programa que posibilite el dibujo de un triángulo equilátero; dijimos —y comprobamos— que la estructura de nuestro primer algoritmo (el del cuadrado) permanecería invariable, y vimos que con sólo cambiar 2 números podíamos pasar de dibujar un cuadrado a dibujar el mencionado triángulo.
La dificultad (o la gracia diría yo) en dicho problema fue encontrar el valor numérico necesario para el giro de Pier. En este Tutorial auspiciamos la aproximación "teórica" como base para la resolución de este intríngulis (es un sinónimo de dificultad) , pero resolverlo vía empírica también presenta sus bemolesme levanté complicado a la hora de escribir—.
Si decidiste seguir el camino de "prueba y error" ya podés ir "metiendo mano" en nuestro programa base para ver si llegás a dibujar un pentágono regular (no necesitás de mi permiso).
¿No sabés que es un pentágono regular?… no es más que un polígono regular de 5 lados (penta = 5)
Por mi lado voy a seguir recorriendo el árido camino del saber, sabiendo ahora de antemano que la clave será de nuevo encontrar ese número mágico, pero esta vez para conseguir dibujar un pentágono regular… aunque quizás encuentre aún más. En marcha pues.

[pensemos cómo] dibujar un pentágono regular

Tal como acabamos de anticipar, iremos directamente tras la resolución analítica del problema. Primero de todo "al lápiz y papel", con el mismo espíritu con que afrontamos la situación para el caso del triángulo —ver página anterior—.
ángulos 2
De movida hay una diferencia evidente: aparecen nuevos jugadores (a nuevos ángulos me refiero) que intenvendrán en el análisis que vamos a proponer; pero antes de seguir conviene hacer una aclaración

Dadas las propiedades de simetría del pentágono regular, y con el fin de simplificar, no vamos a nombrar cada ángulo de forma distinta tal como hicimos para el caso del triángulo —que es lo formalmente correcto— sino que vamos a colocar en nuestro gráfico directamente sus magnitudes en común α, β, γ y δ .
Podemos hacer esto basándonos en su carácter de congruentes.

TIP: Vamos a utilizar en lo que sigue mucho de los conceptos que expusimos al comienzo de este 2do paso, por lo que es muy recomendable que les des una mirada si no los tenés tan presentes.

Nuestra meta de estudio

La evidente belleza del dibujo —más le vale con la horita y pico que invertí en él— no nos debe hacer perder de vista qué es lo que queremos dilucidar: cuál es la magnitud de los ángulos γ .

En el pentágono regular se cumple lo mismo que para el triángulo equilátero, y es algo que se cumplirá en realidad para cualquier polígono regular: ese ángulo γ  es el que está relacionado con la instrucción de giro que le debemos pasar a Pier —la meta principal de nuestro presente análisis—.

Pisando suelo conocido

Comenzaremos con la identificación de clase de algunos de los ángulos de nuestra gráfica.
Los ángulos de magnitud γ (nuestra meta) no son más que ángulos exteriores de nuestro polígono (cumplen con la definición).
Los ángulos de magnitud β (señalados con verde) son ángulos interiores del polígono, y dado que el mismo es regular serán ángulos congruentes entre sí (congruentes son aquellos ángulos que tienen la misma medida).
Por otra parte, si miramos en cada vértice encontraremos un par  β - γ  que guardan entre sí una relación importante: son suplementarios uno respecto al otro —dicho rápidamente juntos suman 180º—… por lo que conocer la magnitud de uno de ellos va a implicar el posterior conocimiento de la del restante.
 
Es buen momento para anunciar que primero vamos a deducir geométricamente el valor de β para luego obtener el de γ como γ = 180º – β. Este mismo "ardid" fue el que usamos con el triángulo equilátero, pero allí conocer la magnitud β era más que sencillo…; en el caso que nos ocupa nos llevará un poco más de trabajo —vayan mandando a dormir a Pier—.

Andando por tierras extrañas

Ya hablamos de cosas conocidas. Pero hay más que explicar sobre nuestra gráfica ¿qué son esos 5 triángulos?, ¿qué hacen allí?
Para el análisis de los polígonos regulares es conveniente hacer divisiones "ficticias" sobre ellos… podemos pensarlos como un grupo de n triángulos isósceles con un vértice en común, ubicado en el mismo centro de la figura (y donde n es el número de lados del polígono regular, ¡prestale atención porque a n lo vamos a usar mucho!). NOTA: n en nuestra figura vale 5
Estos triangulillos están definidos por uno de los lados del polígono regular, y por los dos segmentos que unen c/u de los extremos de dicho lado (a la sazón son vértices del polígono) con el centro del mismo —es mucho más fácil verlo que explicarlo—. Estos segmentos "imaginarios" se denominan radios, y en los polígonos regulares tienen todos la misma medida.
¿Por qué son triángulos isósceles? Si dijimos que dos de sus lados son radios, y todos los radios tienen la misma longitud, ¡ya está!: un triángulo con 2 de sus lados iguales (como se dice vulgarmente) es un triángulo isósceles.

Esta idea de los triángulos en realidad ya la vimos cuando dimos la definición de ángulos centrales, que no casualmente están señalados en nuestro gráfico: son todos los de magnitud α . Dije no casualmente porque serán parte importante en nuestra próxima deducción.

Perderse y encontrarse

ángulos 2
imagen repetida
Ya sé lo que estás pensando: "este tipo me habla primero de los gamma, después me dice no se qué de los beta, me muestra unos triángulos, aparecen unos alfa… esto ya se parece al bosque del Proyecto Blair Witch…".
Tranquil@, que no solo leo la mente sino que tengo claro el camino: para conocer los γ necesito saber los β. Para conocer los β voy a tener que calcular los δ —delta—, y para esto necesito los triángulos isósceles y también deducir el valor de los α  (¡más que chino básico parece griego básico!).
Munidos de este ovillo de hilo desentrañaremos —cual Teseos modernos— los secretos de este laberinto minotáurico (perdón por la licencia culta, cuasi-borgeana… creo que "me pegó el sueño" diríamos por mis pagos).

La otra punta del ovillo

Por una cuestión de claridad, aislamos uno de los triángulos isósceles de nuestro pentágono regular y te lo mostramos ampliado y reacomodado: la base del mismo se corresponde con un lado del poliedro, y los otros 2 lados son los segmentos "imaginarios" que se conectan con el centro —llamados radios—.

Usaremos una propiedad que demostró un tal Tales de Mileto (un tal tales parece broma, y a todo esto: ¡cómo andamos con los griegos! ) que dice que "los ángulos que se oponen a los lados de la misma longitud, en el triángulo isósceles, son congruentes (de la misma medida)"

Los lados citados, en nuestro caso, serán los radios del polígono (en línea punteada), y sus ángulos opuestos son los señalados con magnitud δ —delta—, que ya aparecían indicados como congruentes antes de esta explicación.
isósceles
Vayamos visualizando una cosa: α + δ + δ = 180º, o lo que es lo mismo α + 2δ = 180º . Esto es por la propiedad de suma de los ángulos internos de un triángulo que ya vimos en la página anterior.
Pero para tener una verdadera punta del ovillo necesitaremos conocer la magnitud o de α  o de δ . Para resolver esto vamos a tener que mirar nuestro primer gráfico: ¿qué podemos inferir de todos esos α  "apelotonados" en el centro? Pensá…
Los 5 ángulos centrales del pentágono juntos ¡suman 360º !.
Ya en la definición misma de ángulos centrales vimos que, para un polígono regular de n lados, α  se calcula como: α = 360º / nEsta es nuestra punta del ovillo.
Y para un pentágono regular α = 360º / 5 = 72º
delta
Como ya tenemos forma de calcular α,  podemos calcular δ  operando con la fórmula que los vincula de manera de expresar la segunda magnitud en función de la primera (fórmula que ves a la derecha). Para nuestro pentágono esto da  δ = 54º, y yá podés ir verificando que 72º + 54º + 54º = 180º (es la suma de los 3 ángulos internos del triángulo isósceles).

Saliendo del laberinto —en ala δ—

beta
Apartando ya con desdén el chiste fácil, vamos a redirigir nuestras miradas al 1er gráfico, y preguntarnos luego: ¿qué relación existe entre los δ  y los β ?
Acertaste: los β  miden el doble que los δ (en nuestro pentágono entonces vale β = 108º). Ya estamos en las puertas mismas del laberinto (aunque lamentablemente ni rastros de la bella Ariadna, ni cámaras de TV).
Si sabemos β  sabemos γ porque son suplementarios entre sí… finalmente para un pentágono regular vale γ = 180º – β = 72º¡ovación de toda la cancha!, ¡lágrimas de alegría!, ¡carnaval carioca!

El ángulo de giro que deberemos usar en nuestro algoritmo para el trazado de un pentágono regular es de 72º

¡Pero guardate algo de aliento que falta lo mejor!
Fui "arrastrando" de forma deliberada los α  y los n hasta el final, porque desde la expresión última de nuestro análisis se puede deducir algo extraordinario: que γ  y α  son congruentes, y ambos son función de n.
gamma
¡Hey, despertate! ¿Sabés lo que quiere decir ésto?

Mejor imposible

Que γ  y α  sean congruentes ya nos dá una forma muy simple de calcular el ángulo de giro para cualquier polígono regular, como γ = 360º / n.
El resultado de nuestro análisis va más allá del mero alcance de ser sólo válido para el pentágono regular, ya que es completamente posible generalizarlo para todo polígono regular de n lados. ¿En qué cambiaría —conceptualmente— si hubiésemos hecho el análisis tomando como base un octógono regular? ¿o un hexágono regular? ¿o un cuadrado?
En todos los casos obtendríamos la congruencia entre ángulos centrales y ángulos exteriores… ¡te desafío a que lo pruebes!
NOTA: desde ya que lo que sí cambiaría sería el resultado numérico para cada polígono regular en particular… te dejo una tabla:
tabla de valores
polígono n α δ β γ
triángulo equilátero 3 120º 30º 60º 120º
cuadrado 4 90º 45º 90º 90º
pentágono regular 5 72º 54º 108º 72º
hexágono regular 6 60º 60º 120º 60º
octógono regular 8 45º 67,5º 135º 45º
decágono regular 10 36º 72º 144º 36º

Sobre "una solución posible"

Habíamos hablado en su momento que era posible un acercamiento "empírico" al problema de la obtención de los ángulos de giro para distintos polígonos regulares… no voy a repetirlo, podés leerlo aquí.
La tabla que se entrada/salida que mencionamos allí es una versión reducida de la que podés ver a tu izquierda.
Pero esto no queda aquí —no paran las sorpresas—.
También al finalizar la página anterior anticipamos que, para poder generalizar nuestro algoritmo de manera de poderlo adaptar a cualquier polígono regular, ibamos a necesitar encontrar una fórmula que vincule la cantidad de lados n con el ángulo de giro necesario γ .
¿Y qué otra cosa es γ = 360º / n sino una fórmula?
Las razones de esta necesidad las veremos recién en el 3er paso del tutorial… lo que es seguro es que ya quedé exhausto de tanta explicación, pero contento de haber conseguido más aún de lo que estaba buscando en un principio.
Recordemos que todavía debemos generar el programa para dibujar el pentágono regular y hacer que funcione… esto nos deparará alguna que otra sorpresa ("sí, esto ya parece una telenovela en capítulos").
excerpt
En medio de los ronquidos de Pier, aprovecho para una digresión. Si te quedaste fuera de aquellas referencias que involucraran a (dos puntos porque enumero) : Teseo, Ariadna, ovillos, laberinto, Minotauro, Borges, etc., quizás sea porque está bueno aprender a programar con Scratch, jugar con la compu, con la PlayStation y demás, pero también quizás no te estés enterando de otro mundo —al menos— igual de interesante…
¿Te desayunarás sobre esto? Allá vos (¿allá tú?, ¿se traduce así?, ¿conseguí ser neutro?).
[desayunar: Tener la primera noticia de un suceso o un acontecimiento que se ignoraba]
Nos vemos en la que sigue, chau.
Última actualización: Febrero 24, 2014

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